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等差数列的算题举例

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发表于 2016-10-14 09:34:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
                                    求1966、1976、1986、1996和2006的总和。
思考:
     以上5个数组成的是等差数列,特点是相邻两数的后一个数减去前一个数的差都等于10。
     凡是相邻两数的后一个数减去前一个数,差都相等的数列, 叫做等差数列。

思路一:
      以最小的数1966为基数,那么1976比1966多10×1,1986比1966多10×2,1996比1966多10×3,2006比1966多10×4。
      所以,1966×5的积再加上后面几个数比1966多出的10×(1+2+3+4),就得到这5个数的总和。
列式计算;
     1966×5+10×(1+2+3+4)= 9830+100 = 9930

思路二:
      以最大的数2006为基数,那么1996比2006少10×1,1986比2006少10×2,1976比2006少10×3,1966比2006少10×4。
      所以,2006×5的积再减去前面几个数比2006少的10×(1+2+3+4),就得到这5个数的总和。
列式计算;
       2006×5-10×(1+2+3+4)= 10030-100 = 9930

思路三:
      如果一个等差数列,数的个数是奇数,那么这个数列的中位数(处于数列正中间的那个数),就是这个数列的平均数。
      所以,只需用中位数乘组成数列的数的个数,就得到这个数列的总和。
      1966、1976、1986、1996、2006是等差数列,1986是这个数列的中位数。
列式计算;
      1986×5 = 9930
    (这是最为简便的算法。)

     答:1966、1976、1986、1996、2006的总和是9930。

提示:


       如果一个等差数列,数的个数是偶数,那么,可以将这个数列中的第一个数和数列中的最后一个数相加,再乘这个数列中数的个数除以2的商,就得到这个数列的总和。
列成公式就是:
      总和数=(第一个数+最后一个数)×(数的个数÷2)

                                        例:求1966、1976、1986、1996、2006和2016的总和。

列式计算:
      (1966+2016)×(6÷2)=3982×3=11946


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 楼主| 发表于 2018-6-21 23:01:26 | 显示全部楼层
                                                  求23  20  19  22  18  21六个数的和?
解法一:
          23+20+19+22+18+21      
——19是20-1,22是20+2,18是20-2,21是20+1。
      = 20×6+3+0-1+2-2+1   
      = 120+3
      = 123
解法二:
          23+20+19+22+18+21
      = 20+3+20+22+18+19+21
      = 20+20+22+18+19+21+3
      = 40+40+40+3
      = 123
解法三:
          23++22+21+20+19+18   ——加数是偶数个,故平均数是中间两数和除以2。
     =(21+20)×6÷2
     = 41×3
     = 123
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 楼主| 发表于 2018-6-22 12:01:42 | 显示全部楼层
                                               求102  100  99  101  98五个数的和。
解法一:
          102+100+99+101+98   
——102为100+2,100为100+0,99为100-1,101为100+1,98为100-2。
    = 100×5+2+0-1+1-2
        = 500

解法二:
           102+100+99+101+98      
——将5个数从小到大或从大到小排列再相加。
       = 98+99+100+101+102      ——加数个数是奇数,所以平均数就是最中间的100。
       = 100×5
       = 500

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 楼主| 发表于 2018-6-25 19:55:28 | 显示全部楼层
                                                  四个连续整数的和是94,求这四个数。
解法一:
      假设第一个数是x, 那么,后面三个数就依次为x+1、x+2和x+3,依题意得方程:
                x+(x+1)+(x+2)+(x+3)= 94
解方程:                     x+x+1+x+2+x+3 = 94
                                                    4x+6 = 94
                                                        4x = 94-6
                                                        4x = 88
                                                          x = 88÷4 = 22
      将x的值依次代入x+1、x+2和x+3,得23  24  25

解法二:
      因为四个数是连续的整数,后三个数分别比第一个数多1、2和3,也就是说一共多6。
      如果从94中减去6再除以4,得数22就是最小的那个数了;然后依次加上1、2、3,就得出另外三个数了。
    (94-6)÷4 = 88÷4 = 22   22 + 1 = 23    22 + 2 = 24    22 + 3 = 25


解法三:
      如果用94加上6再除以4,得数25就是最大的那个数了;分别减去1、2、3,就得出另外三个数了。
   (94 + 6)÷4 = 100÷4 = 25    25-1 = 24    25-2 = 23    25-3 = 22


解法四:
       因为这连续的整数一共有四个,是偶数个,那么94除以2的商47就是第一个数加上第四个数的和,而第四个数比第一个数多3,所以47减去3再除以2的商22就是最小的那个数。 第二、三、四个数分别为23  24  25。


解法五:
      94除以2的商47也是第二个数加上第三个数的和,而第三个数比第二个数多1,所以47减去1再除以2的商23就是第二个数,第三个数就是23加1,即24,第一个数和第四个数分别是22和25。


      答案:这四个数为22  23  24  25 或者25  24  23  22



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 楼主| 发表于 2018-6-26 11:57:22 | 显示全部楼层
                         连续六个偶数中,第一个数和最后一个数的和是78,求这六个数的和。
解法一:
      这个等差数列的数是偶数个,所以第一个数加最后一个数的和等于第二个数加第五个数的和等于第三个数加第四个数的和,所以这六个数的和就是:
                                                        78×3 = 234
解法二:
      这个等差数列的数是偶数个,所以第一个数加最后一个数的和78除以2就是这六个数的平均数,再乘6就得这六个数的和:
                                                  (78÷2)×6=234
解法三:
      因为六个数是连续的偶数,所以后五个偶数分别比第一个偶数大2、4、6、8、10。如果用第一个数加最后一个数的和78减去10再除以2,就得第一个数。用第一个数乘6再加上2  4  6  8  10的和,就得这六个连续偶数的和。
     (78-10)÷2×6+(2+4+6+8+10)= 68÷2×6+30=34×6+30=204+30=234
        ……
      

       答:这六个连续偶数的和是234。

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 楼主| 发表于 2018-6-27 18:53:17 | 显示全部楼层
                                          求等差数列3  5  7  9……的前十项和前一百项的和。
      已知:首项为3,公差为2,项数分别为10和100。


解法一
      根据公式:末项=首项+(项数-1)×公差,先分别求出第10项和第100项。
                  第10项=首项+(项数-1)×公差=3+(10-1)×2=3+9×2=3+18=21
                第100项=首项+(项数-1)×公差=3+(100-1)×2=3+99×2=3+198=201

      再根据公式:和=(首项+末项)×项数÷2分别求出前10项和前100项的和。
            前10项的和=(首项+末项)×项数÷2=(3+21)×10÷2=24×10÷2=240÷2= 120
          前100项的和=(首项+末项)×项数÷2==(3+201)×100÷2=204×100÷2=20400÷2=10200


解法二
      根据公式:和=首项×项数+项数×(项数-1)×公差÷2求和。


         前10项的和=首项×项数+项数×(项数-1)×公差÷2求和
                         =3×10+10×(10-1)×2÷2
                         =30+10×9×2÷2
                         =30+90×2÷2
                         =30+90
                         =120


       前100项的和=首项×项数+项数×(项数-1)×公差÷2求和
                         =3×100+100×(100-1)×2÷2
                         =300+9900×2÷2
                         =300+9900
                         = 10200

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 楼主| 发表于 2018-6-28 11:38:01 | 显示全部楼层
                                                     求6+7+8+9+……+74+75的和。

解:

      已知首项为6 ,末项为75,公差为1。

      将已知数据代入求项数
公式得
           项数=(末项-首项)÷公差+1
                 =(75-6)÷1+1
                 = 69+1
                 = 70


          再将已知数据代入求和
公式
                和=(首项+末项)×项数÷2
                   = 6+7+8+9+……+74+75
                   =(6+75)×70÷2
                   = 81×70÷2
                   = 5670÷2
                   = 2835


          答:以上等差数列的和是2835。


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 楼主| 发表于 2018-6-29 12:50:10 | 显示全部楼层
                                               求 2+6+10+14+……+122+126的和。
解:
                
        已知首项为2,末项为126,公差为4。

        先根据公式求项数:
        项数=(末项-首项)÷公差+1

              =(126-2)÷4+1
              =124÷4+1
              = 31+1
              = 32

       再根据公式求和:
       和 =(首项+末项)×项数÷2
           =(2+126)×32÷2

           =128×32÷2
           = 4096 ÷2
           = 2048
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 楼主| 发表于 2018-6-30 17:30:25 | 显示全部楼层
                           求(2+4+6+8+……+2000)-(1+3+5+7+……+1999)的差。

解法一
      先分别求出被减数和减数的项数
      项数=(2000-2)÷2+1=1998÷2+1=999+1= 1000
      项数=(1999-1)÷2+1=1998÷2+1=999+1= 1000

      再分别求出被减数和减数的和
      被减数的和 =(2+2000)×1000÷2=2002×1000÷2=2002000÷2=1001000
      减数的和 =(1+1999)×1000÷2=2000×1000÷2=2000000÷2=1000000

      最后求出差
    (2+4+6+8+……+2000)-(1+3+5+7+……+1999)=1001000-1000000= 1000


解法二

      先求出被减数和减数的项数:(2000-2)÷2+1=(1999-1)÷2+1= 1000

      再在去括号后带符号搬家求差
         (2+4+6+8+……+2000)-(1+3+5+7+……+1999)——去括号。
       = 2+4+6+8+……+2000-1-3-5-7-……-1999  ——带符号搬家。
       = 2-1+4-3+6-5+8-7+……+2000-1999
       = 1+1+1+1+……+ 1        ——项数为1000,也就是说有1000个1相加。

       = 1000×1
       = 1000

       答:(2+4+6+8+……+2000)-(1+3+5+7+……+1999)的差是1000。
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 楼主| 发表于 2018-7-2 16:58:16 | 显示全部楼层
                       求1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60的值。
分析:

      乍一看,这个算式中有加也有减,几乎与等差数列不沾边。但是仔细一观察,却又不难发现,这个算式其实完全可以运用等差数列的求和公式来解。
解法一
          1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60   ——添加括号
      =(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+(10+11-12)+……+(58+59-60)
      =  0+3+6+9+……+57=3+6+9+……+57


      很明显,这是一个首项为0,末项为57,公差为3的等差数列。项数与
和分别为:
        (57-0)÷3+1=57÷3+1=19+1= 20
          (0+57)×20÷2=57×20÷2=57×10= 570

       也可忽略0,视这个等差数列首项为3,末项为57,公差为3。那么
项数与和分别为:
        (57-3)÷3+1=54÷3+1=18+1= 19
          (3+57)×19÷2=60×19÷2=30×19=  570


解法二
          1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60     ——带符号搬家
       = 1+4+7+10+……+58  +  2+5+8+11+……+59  -3-6-9-12-……-60   ——加括号
       =(1+4+7+10+……+58)+( 2+5+8+11+……+59)-(3+6+9+12+……+60)

       很清楚,以上三个括号里的加数都是等差数列,这时就可以分别求出它们的项数与和了。
        (1+4+7+10+……+58)的首项为1,末项为58,公差为3。
          项数=(末项-首项)÷公差+1=(58-1)÷3+1=57÷3+1=19+1=20
            和 = (首项+末项)×项数÷2=(1+58)×20÷2=59×10=590

       ( 2+5+8+11+……+59)的首项为2,末项为59,公差为3。
         项数=(末项-首项)÷公差+1=(59-2)÷3+1=57÷3+1=19+1=20
           和 = (首项+末项)×项数÷2=(2+59)×20÷2=61×10=610

       (3+6+9+12+……+60)的首项为3,末项为60,公差为3。
        项数=(末项-首项)÷公差+1=(60-3)÷3+1=57÷3+1=19+1=20
          和 = (首项+末项)×项数÷2=(3+60)×20÷2=63×10=630


        那么(1+4+7+10+……+58)+( 2+5+8+11+……+59)-(3+6+9+12+……+60)
             = 590+610-630=1200-630=570


        答:1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60 的值为570。


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