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楼主: skelang

等差数列的算题举例

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 楼主| 发表于 2018-7-2 16:58:16 | 显示全部楼层
                       求1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60的值。
分析:

      乍一看,这个算式中有加也有减,几乎与等差数列不沾边。但是仔细一观察,却又不难发现,这个算式其实完全可以运用等差数列的求和公式来解。
解法一
          1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60   ——添加括号
      =(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+(10+11-12)+……+(58+59-60)
      =  0+3+6+9+……+57=3+6+9+……+57


      很明显,这是一个首项为0,末项为57,公差为3的等差数列。项数与
和分别为:
        (57-0)÷3+1=57÷3+1=19+1= 20
          (0+57)×20÷2=57×20÷2=57×10= 570

       也可忽略0,视这个等差数列首项为3,末项为57,公差为3。那么
项数与和分别为:
        (57-3)÷3+1=54÷3+1=18+1= 19
          (3+57)×19÷2=60×19÷2=30×19=  570


解法二
          1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60     ——带符号搬家
       = 1+4+7+10+……+58  +  2+5+8+11+……+59  -3-6-9-12-……-60   ——加括号
       =(1+4+7+10+……+58)+( 2+5+8+11+……+59)-(3+6+9+12+……+60)

       很清楚,以上三个括号里的加数都是等差数列,这时就可以分别求出它们的项数与和了。
        (1+4+7+10+……+58)的首项为1,末项为58,公差为3。
          项数=(末项-首项)÷公差+1=(58-1)÷3+1=57÷3+1=19+1=20
            和 = (首项+末项)×项数÷2=(1+58)×20÷2=59×10=590

       ( 2+5+8+11+……+59)的首项为2,末项为59,公差为3。
         项数=(末项-首项)÷公差+1=(59-2)÷3+1=57÷3+1=19+1=20
           和 = (首项+末项)×项数÷2=(2+59)×20÷2=61×10=610

       (3+6+9+12+……+60)的首项为3,末项为60,公差为3。
        项数=(末项-首项)÷公差+1=(60-3)÷3+1=57÷3+1=19+1=20
          和 = (首项+末项)×项数÷2=(3+60)×20÷2=63×10=630


        那么(1+4+7+10+……+58)+( 2+5+8+11+……+59)-(3+6+9+12+……+60)
             = 590+610-630=1200-630=570


        答:1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60 的值为570。


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 楼主| 发表于 2018-7-5 15:53:26 | 显示全部楼层
                            求3676- (11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35)的值

解:
      已知括号中是一等差数列,首项为11,末项为27,公差为2,项数为13。先求数列的和。

方法一:
      这个数列是奇数项,所以用最中间的数乘项数就得这个数列的和,即23×13=299

方法二:
      和= (首项+末项)×项数÷2
         =(11+35)×13÷2
         = 46×13÷2
         = 46÷2×13
         = 23×13
         = 299

方法三:
      和= 首项×项数+项数×(项数-1)×公差÷2
         = 11×13+13×(13-1)×2÷2
         = 13×(11+12)
         = 13×23
         = 299

故,
             3676-(11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35)
         = 3676-299
         = 3377


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 楼主| 发表于 2018-7-7 17:11:49 | 显示全部楼层
                      若8个连续自然数之和是372,那中间两个数分别是什么数?它们的和是多少?
解:


       已知公差为1,项数为8,8个自然数的和为372。
       又知求和公式为;   
                             和=(首项+末项)×项数÷2  
       将求和公式变换得:
                    和÷项数×2=(首项+末项)=中间两项之和
       将已知的数字代入变换后的公式得:
                        372÷8×2 = 372÷4 = 93

       93就是中间两个自然数的和。
                              93÷2=46……1
       答:这个自然数数列中间两个数分别是46和47,它们的和是93。



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