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学生教我推算百钱买百鸡

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发表于 2017-2-5 19:21:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
                                                                       季恒年
      近日在网上发现一道中国古代数学神题,即数学家张丘建《算经》中著名的“百钱买百鸡问题”。题曰:鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。百钱买百鸡,问翁、母、雏各几何?
      我的数学功底虽不算薄弱,但是用算术方法解题,却是我的弱项。于是我并试图用方程来解,先分别设百钱买的鸡翁、鸡母、鸡雏只数为x、y、z,再列三元一次方程组:
                                 ①5x+3y+z/3=100
                                ②x+y+z=100
       可是,我一时却无法很快求出方程的解。不得已,我只得试图通过对x、y、z可变范围的穷举来求解,弄得是头昏脑涨。

       六年级的小琼和小磊同学跟我有个约定,放假前把他们的《素质教育报告单》给我看。他俩一道来到我的咨询室时,我正在公关这道题。这两个数学高手在一边看了看,笑着说:“季老师,这题我们会解。”
      “真的吗?快来帮我。”我大喜过望。
       先是小琼像教低年级小学生一样,耐心地给我讲她的解题思路:
       第一步,看100能被哪些数整除——1、2、4、5、10、20、25、50、100;
       第二步根据题意用排除法从小到大排除掉1、2、4、5(如鸡翁、鸡母、鸡雏都买,最少也是10钱买5鸡,即鸡翁1,鸡母1,鸡雏3,可是钱数和鸡数不相等);
       第三步仍依据题意排除掉10和20,因为10钱买10鸡或20钱买20鸡都行不通;
       第四步列举到鸡翁3、鸡母1、鸡雏21时,正好是25钱买25鸡
                       3﹢1﹢21=3×5﹢1×3﹢21÷3
       第五步,因为100是25的4倍,所以将鸡翁3、鸡母1、鸡雏21分别乘4得:鸡翁12、鸡母4、鸡雏84,于是有:
             12﹢4﹢84=100,12×5﹢4×3﹢84÷3=60﹢12﹢28=100
       鸡翁12、鸡母4、鸡雏84,就是这题的答案。


       小磊在一旁着急了:“季老师,她只推算出一组答案,这题有好几组答案呢?”
     “哦!那你快给我说说。”我有些惊讶,也更加期待。
       小磊不紧不慢地说:“季老师,用您的列方程穷举法,太累太费时;用小琼同学的方法,也只能求出一组答案。我是这样想的,根据题意,我先从鸡雏数入手。
       我先确定鸡雏数的取值范围——假设鸡雏70,那鸡公和鸡母合计就是30,即使全是鸡母,也是90钱,百鸡超百钱,不符合题意,所以鸡雏数必须大于70。
       再假设鸡雏90,那鸡公和鸡母合计只有10,即使全是鸡公,也只有50钱,百鸡不足百钱,也不符合题意,所以鸡雏数必须小于90。
       再根据题中“鸡雏三,值钱一”判断,鸡雏数必须是3的倍数。在70——90之间是3的倍数的整数有“72、75、78、81、84、87”六个数。
       这时可以进行逐一列举。
       若鸡雏72,值钱24;那么鸡公、鸡母合计28,即使全是鸡母(也可假设全是鸡公),也需钱84,百鸡超百钱,不符合题意。
       若鸡雏75,值钱25;那么鸡公、鸡母合计25,即使全是鸡母(也可假设全是鸡公),也需钱75,鸡母鸡雏合计已百钱,无鸡公,也不符合题意。
       若鸡雏78,值钱26;那么鸡公、鸡母合计22,假设全是鸡母(也可假设全是鸡公),值钱66,鸡雏鸡母合计钱92,百鸡离百钱差钱8;又因一只鸡公比一只鸡母多钱2,则有8÷2=4,22-4=18。答案是鸡公4,鸡母18,鸡雏78。百钱买百鸡,完全符合题意。
       若鸡雏81,值钱27;那么鸡公、鸡母合计19,假设全是鸡母(也可假设全是鸡公),值钱57,鸡雏鸡母合计钱84,百鸡离百钱差钱16;又因一只鸡公比一只鸡母多钱2,则有16÷2=8,19-8=11。答案是鸡公8,鸡母11,鸡雏81。百钱买百鸡,也完全符合题意。
       若鸡雏84,值钱28;那么鸡公、鸡母合计16,假设全是鸡母(也可假设全是鸡公),值钱48,鸡雏鸡母合计钱76,百鸡离百钱差钱24;又因一只鸡公比一只鸡母多钱2,则有24÷2=12,16-12=4。答案是鸡公12,鸡母4,鸡雏84。这与小琼同学的答案一致。
       若鸡雏87,值钱29;那么鸡公、鸡母合计13,即使全是鸡公,也只值钱65,百鸡不足百钱,与题意百钱买百鸡不符。
       最后,答案有三组,即:
                                  ①  鸡公12,鸡母4,鸡雏84。
                                  ②  鸡公8,鸡母11,鸡雏81。
                                  ③  鸡公4,鸡母18,鸡雏78。
      我惊叹于小琼和小磊的数学推理能力,当面向他俩表达了我的敬佩之情。
                              (写于2012年5月)


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